【電気数学をシンプルに】電気回路の解析③ 逆行列と行列式

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電気数学の基礎知識(逆行列と行列式)

今回のコラムでは、行列を計算する方法として、逆行列について解説します。

行列では除算が定義されていません。
ただし、除算に相当する演算としてイメージできる「逆行列」が定義されています。

(*行列の加算、減算、乗算については「電気回路の解析② 行列の演算方法をチェック」をご覧ください。) 

1.逆行列とは?

「逆行列」とは、ある行列とかけ算すると単位行列Eになる行列です。
つまり、行列Aと逆行列A-1との関係は以下の式で表されます。

 A-1A=AA-1=E

行列Aと行列Bの積は、一般に可換性がなくAB≠BAになりますが、ある行列Aとその逆行列A-1との積は可換性があります。
 

2.逆行列の求め方

(1)1×1行列の場合

逆行列A-1は、その成分とします。

A=(1)のとき、
A-1=(1)になります。
 

(2)2×2、3×3行列の場合

逆行列A-1は、行列式detAの逆数と余因子行列adjAの積になります。
そのため、行列式detAが0のときは、逆行列A-1が存在しません。
(行列式と余因子行列については後半で説明しています。)

 電気数学の基礎知識 逆行列の求め方1   ただし、detA≠0

電気数学の基礎知識 逆行列の求め方2 のとき、

detA=ad-bc、 adjA= 電気数学の基礎知識 逆行列の求め方3 を代入し、

電気数学の基礎知識 逆行列の求め方4   ただし、ad-bc≠0 となります。
 

電気数学の基礎知識 逆行列の求め方5 のとき、

detA = a11(a22a33 -a23a32) -a12(a21a33 -a23a31) +a13(a21a32 -a22a31)
 

電気数学の基礎知識 逆行列の求め方6

を代入して計算します。
 

3.行列式(determinant)

先ほど、逆行列A-1を求める際に用いた「行列式」とは、行数と列数が等しいn×n行列において定義されるスカラです。ここでは、行列式の求め方について説明します。

(1)1×1行列の場合

行列式はその成分とします。
A=(1)のとき、
detA=1になります。
 

(2)2×2行列の場合

電気数学の基礎知識 行列式1-1 のとき、

電気数学の基礎知識 行列式1-2
= ad -bc
 

(3)3×3行列の場合

電気数学の基礎知識 行列式2-1 のとき、

電気数学の基礎知識 行列式2-2

= a11A11 -a12A12 +a13 A13(A11、A12、A13は部分行列です。後ほど説明しています。)

電気数学の基礎知識 行列式3

= a11(a22a33 -a23a32) -a12(a21a33 -a23a31) +a13(a21a32 -a22a31)

 

4.余因子と余因子行列(adjoint matrix)

3×3行列の逆行列A-1を求める際に「部分行列を使いました。

部分行列」とは、行列Aのi行またはj列以外の成分からなる行列をいいます。

また、行列Aのi行とj列以外の成分からなる部分行列Aijの行列式に (-1)i+j をかけたものを「余因子」といいます。

 余因子 (-1)i+j ×detAij

この余因子を成分とする行列が「余因子行列(adjoint matrix)」になります。

余因子と余因子行列adjAの求め方は以下の通りです。

  1. 行列Aのi行とj列以外の成分からなる部分行列Aijをつくる
  2. 各部分行列Aijの行列式detAijを求める
  3. 求めた行列式detAijに(-1)i+jをかけて余因子を求める
  4. 余因子を成分とする行列(余因子行列)をつくる

 

(1)2×2行列における余因子行列の求め方

図1に示したように、
2×2行列における余因子行列の求め方1 のとき、

adjA=2×2行列における余因子行列の求め方2 になります。

 

2×2行列における余因子行列の求め方3

 

(2)3×3行列における余因子行列の求め方

図2に示したように、

3×3行列における余因子行列の求め方1 のとき、

3×3行列における余因子行列の求め方2
になります。

 

3×3行列における余因子行列の求め方3

3×3行列における余因子行列の求め方4

3×3行列における余因子行列の求め方5

 
 

ということで今回のコラムでは、逆行列の求め方について解説しました。
3×3行列の逆行列の求め方については、ここで紹介した以外にもいくつかの方法がありますが、応用のしやすさを考慮して余因子を用いた方法を取り上げました。

次回の連載コラム「キルヒホッフの法則と行列法」では、実践的な問題も用意しています。
ぜひ取り組んでみてください。

 

(日本アイアール株式会社 N・S)
 

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