【電気数学をシンプルに】電気回路の解析③ 逆行列と行列式

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今回のコラムでは、行列を計算する方法として、逆行列について解説します。

行列では除算が定義されていません。
ただし、除算に相当する演算としてイメージできる「逆行列」が定義されています。

（*行列の加算、減算、乗算については「電気回路の解析② 行列の演算方法をチェック」をご覧ください。） 

１．逆行列とは？

「逆行列」とは、ある行列とかけ算すると単位行列Eになる行列です。
つまり、行列Aと逆行列A^-1との関係は以下の式で表されます。

　A^-1A=AA^-1=E

行列Aと行列Bの積は、一般に可換性がなくAB≠BAになりますが、ある行列Aとその逆行列A^-1との積は可換性があります。
 

２．逆行列の求め方

（1）1×1行列の場合

逆行列A^-1は、その成分とします。

A=(1)のとき、
A^-1=(1)になります。
 

（2）2×2、3×3行列の場合

逆行列A^-1は、行列式detAの逆数と余因子行列adjAの積になります。
そのため、行列式detAが0のときは、逆行列A^-1が存在しません。
（行列式と余因子行列については後半で説明しています。）

　 ただし、detA≠0

のとき、

detA=ad-bc、 adjA= を代入し、

　 ただし、ad-bc≠0　となります。
 

のとき、

detA = a₁₁(a₂₂a₃₃ -a₂₃a₃₂) -a₁₂(a₂₁a₃₃ -a₂₃a₃₁) +a₁₃(a₂₁a₃₂ -a₂₂a₃₁)
 

を代入して計算します。
 

３．行列式（determinant）

先ほど、逆行列A^-1を求める際に用いた「行列式」とは、行数と列数が等しいn×n行列において定義されるスカラです。ここでは、行列式の求め方について説明します。

（1）1×1行列の場合

行列式はその成分とします。
A=(1)のとき、
detA=1になります。
 

（2）2×2行列の場合

のとき、

= ad -bc
 

（3）3×3行列の場合

のとき、

= a₁₁A₁₁ -a₁₂A₁₂ +a₁₃ A₁₃（A₁₁、A₁₂、A₁₃は部分行列です。後ほど説明しています。）

= a₁₁(a₂₂a₃₃ -a₂₃a₃₂) -a₁₂(a₂₁a₃₃ -a₂₃a₃₁) +a₁₃(a₂₁a₃₂ -a₂₂a₃₁)

４．余因子と余因子行列（adjoint matrix）

3×3行列の逆行列A^-1を求める際に「部分行列を使いました。

「部分行列」とは、行列Aのi行またはj列以外の成分からなる行列をいいます。

また、行列Aのi行とj列以外の成分からなる部分行列Aijの行列式に (-1)^i+j をかけたものを「余因子」といいます。

　余因子　(-1)^i+j ×detA_ij

この余因子を成分とする行列が「余因子行列（adjoint matrix）」になります。

余因子と余因子行列adjAの求め方は以下の通りです。

1. 行列Aのi行とj列以外の成分からなる部分行列A_ijをつくる
2. 各部分行列A_ijの行列式detA_ijを求める
3. 求めた行列式detA_ijに(-1)^i+jをかけて余因子を求める
4. 余因子を成分とする行列（余因子行列）をつくる

（1）2×2行列における余因子行列の求め方

図1に示したように、
のとき、

adjA= になります。

（2）3×3行列における余因子行列の求め方

図2に示したように、

のとき、

になります。

ということで今回のコラムでは、逆行列の求め方について解説しました。
3×3行列の逆行列の求め方については、ここで紹介した以外にもいくつかの方法がありますが、応用のしやすさを考慮して余因子を用いた方法を取り上げました。

次回の連載コラム「キルヒホッフの法則と行列法」では、実践的な問題も用意しています。
ぜひ取り組んでみてください。

（日本アイアール株式会社　N・S)
 

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